Subspaces

What is subspaces

• Subspace는, Vector space 의 부분집합으로써, 벡터 공간 성질이 유지되는 집합이다.
• Subspace 내 요소들 간 선형결합이 Subspace 내 요소로 표현되어야만 한다.
• 정리하자면 subspace는 기저 벡터들이 표현하는 span이다.

Column Space and Row Space

• A 3x2 matrix, C(A) = span { a_1, a_2 }, R^3의 부분집합
• A 3x2 matrix, R(A) = span { a_1, a_2 }, R^2의 부분집합

Null Space

• Null Space: Ax = 0을 만족하는 x들의 집합이다.

구하는 법

1. pivot variables를 free variables로 표현하여 x 정의
2. x를 다시 각 free variable 과 임의 벡터들의 선형 결합으로 표현
3. 이때 생긴 임의 벡터들이 N(A)의 기저 벡터들이다.

Rank and Nullity

• n개의 열 = 피봇 + free = rank(A) + (n - rank(A)) = dim C(A) + dim N(A)

차원 != R^n, R^n 은 원소가 n 개인 실수 벡터 공간, 기저벡터는 유일하지 않음

Complete Solution to Ax = b

• A = [ 1, -1 ] 로 두고 Ax = 2라 두자.
• 임의의 해 x = [3, 1]
• N(x) = [ 1, 1]
• 임의의 해 x + z(from N(A)) = y, y is complete solution to Ax = b

V방향으로 평행이동? : v와 평행하게 이동, x + N(A) 는 N(A) 기저벡터 방향에서 x 벡터만큼 이동 = 새로운 벡터

left inverse, right inverse …